Logika Matematika

Soal ...
* carilah pengertian dari :
a. konjungsi
b. disjungs
c. implikasi
d. biimplikasi
e. proporsisi
f. ingkaran

* buatlah contoh nilai kebenaran dari 3 buah kalimat dengan menggunakan penghubung logika

Jawab :
1. Pengertian
a. Proposisi
Proposisi adalah “pernyataan dalam bentuk kalimat yang memiliki arti penuh, serta mempunyai nilai benar atau salah, dan tidak boleh kedua-duanya”.Maksud kedua-duanya ini adalah dalam suatu kalimat proposisi standar tidak boleh mengandung 2 pernyataan benar dan salah sekaligus. Dengan kata lain, Proposisi adalah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu ”Benar” (B), atau ”Salah” (S).
b. Konjungsi ( dan )
Konjungsi adalah pernyataan baru yang dibentuk dari dua pernyataan dengan kata gabung “dan” dinotasikan dengan “^”,sebagai contoh konjungsi dari p dan q ditulis “p^q”.
Penyelesaian:
(1) Kalimat bernilai benar karena kedua pernyataan penyusunnya bernilai benar.
(2) Kalimat bernilai salah karena salah satu pernyataan penyusunnya bernilai salah.
(3) Kalimat bernilai salah karena salah kedua pernyataan penyusunnya bernilai salah.
c. Disjungsi ( atau )
Disjungsi adalah pernyataan baru yang dibentuk dari dua pernyataan dengan kata gabung “atau” dinotasikan dengan “V”,sebagai contoh konjungsi dari p dan q ditulis “pVq”.
( akan bernlai salah apabila kedua-duanya salah )
d. Implikasi ( jika-maka )
Implikasi adalah pernyataan baru yang dibentuk dari dua pernyataan dengan kata gabung “dan” dinotasikan dengan “→”,sebagai contoh konjungsi dari p dan q ditulis “p→q”.
( akan bernilai salah apabila p benar dan q salah )
e. Biimplikasi ( jika dan hanya jika )
Biimplikasi adalah pernyataan baru yang dibentuk dari dua pernyataan dengan kata gabung “dan” dinotasikan dengan “↔”,sebagai contoh konjungsi dari p dan q ditulis “p↔q”.
(akan bernilai benar bila kedua-duanya benar, atau kedua-duanya salah)
f. Ingkaran (tidak benar bahwa)
Operasi ini merupakan operasi uner yang dilambangkan dengan tanda "~" .atau "¬". Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca "tidak benar bahwa p" atau "non p" atau "negasi dari p".
(kebalikan dari pernyataan)

Contoh (1)
p: Jakarta ibu kota negara R I.
~p: Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota Negara RI.
~p: Jakarta bukan ibu kota negara R I.

Contoh (2)
q: 2 + 5 = 10.
~q: Tidak benar bahwa 2 + 5 = 10.
~q: 2 + 5 tidak sama dengan 10.

Contoh (3)
r: 2 > 5 .
~r: Tidak benar bahwa 2 > 5 .
~r: 2 < 5 . 2. Contoh Jika pernyataan tunggal, misalnya pernyataan p, q, dan r digabung menjadi pernyataan baru, pernyataan tersebut disebut “Pernyataan Majemuk” Yang menggabungkan beberapa pernyatan tunggal tersebut adalah penghubung logika ( konjungsi, disjungsi, implikasi, bi implikasi, dan negasi ) Dengan menggunakan B sebagai pernyataan benar, dan S sebagai pernyataan salah. Contoh-contoh : * contoh 1
p = Dimash menyanyi
q = Dita memasak
r = Dia menjadi juara
Jawaban ...
1. Untuk p^q  Dimash bernyanyi dan Dita memasak
2. Untuk pVq  Dimash bernyanyi atau Dita memasak
3. Untuk p => q  jika Dimash bernyanyi, maka Dita memasak
4. Untuk qp  Dimash bernyanyi, jika dan hanya jika Dita memasak
5. Untuk ~p => ~q  jika Dimash tidak bernyanyi, maka Dita tidak memasak
6. Untuk ~p => (~q ^ ~r)  jika Dimash tidak bernyanyi, maka Dita tidak memasak dan dia tidak menjadi juara
7. Untuk ~(pVq)  ~r  tidak benar bahwa Dimash bernyanyi atau Dita memasak, jika dan hanya jika dia menjadi juara
8. Untuk (p^q) => r  jika Dimash bernyanyi dan Dita memasak, maka dia menjadi juara

* contoh 2
p = Dimash rajin belajar
q = Dita berprestasi
r = Vidi lulus ujian
berdasarkan pernyataan diatas, tuliskan rumus simbolis dari setiap pernyataan dalam p, q, dan r !!!
a.Dimash rajin belajar atau Dita berprestasi, dan Vidi lulus ujian
b.Jika Dimash rajin belajar, maka Dita berprestasi dan Vidi lulus ujian
c.Tidak benar bahwa jika Dimash rajin belajar dan Dita berprestasi, maka Vidi lulus ujian
d.Vidi tidak lulus ujian, jika dan hanya jika Dimash tidak belajar dan Dita tidak berprestasi

Jawaban ...
a. (pVq) ^ r
b. p => (q^r)
c. ~ (p^q) => ~ r
d. ~r <=> (~p^~q)

* contoh 3
p = Drisva adalah mahasiswa Universitas Sriwijaya (B)
q = satu abad sama dengan 100 tahun (B)
r = 10 x 2 = 40 (S)

maka
~p = Drisva bukan mahasiswa Universitas Sriwijaya (S)
q^r = satu abad sama dengan 100 tahun, dan 10 x 2 = 40 (S)
qVr = satu abad sama dengan 100 tahun, atau 10 x 2 = 40 (B)
q=>r = jika satu abad sama dengan 100 tahun, maka 10 x 2 = 40 (S)
q<=>r = satu abad sama dengan 100 tahun, jika dan hanya jika 10 x 2 = 40(S)